Home · Blog · Matematica · 1ª superiore
Prodotti notevoli: le formule spiegate semplici, con esempi
In breve. I prodotti notevoli sono moltiplicazioni tra polinomi che danno sempre lo stesso risultato, quindi si fanno senza svolgere tutti i calcoli. Letti da sinistra a destra servono a sviluppare; letti da destra a sinistra servono a scomporre.
| Prodotto notevole | Formula |
|---|---|
| Quadrato di binomio | (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Somma per differenza | (a + b)(a − b) = a² − b² |
| Quadrato di trinomio | (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc |
| Cubo di binomio | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
Il quadrato di binomio
Si legge così: il quadrato del primo termine, più (o meno) il doppio prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo. Il disegno aiuta a ricordarlo: un quadrato di lato a + b contiene un quadrato a², un quadrato b² e due rettangoli ab.
(2a − 5)² = 4a² − 20a + 25
La somma per differenza
Quando moltiplichi la somma di due termini per la loro differenza, i doppi prodotti si annullano e resta la differenza dei quadrati.
(5y + 1)(5y − 1) = 25y² − 1
Il cubo di binomio
I coefficienti sono sempre 1, 3, 3, 1, come nella riga del triangolo di Tartaglia. Gli esponenti del primo termine scendono (3, 2, 1, 0), quelli del secondo salgono (0, 1, 2, 3).
Usarli al contrario per scomporre
Se riconosci la forma, il prodotto notevole si legge da destra a sinistra e il polinomio si scompone subito.
| Se vedi… | Scomponi in… | Esempio |
|---|---|---|
| a² − b² | (a − b)(a + b) | x² − 36 = (x − 6)(x + 6) |
| a² + 2ab + b² | (a + b)² | x² + 10x + 25 = (x + 5)² |
| a² − 2ab + b² | (a − b)² | 9a² − 6a + 1 = (3a − 1)² |
Mettiti alla prova
1. Sviluppa (x + 6)²
x² + 12x + 36
2. Sviluppa (5x + 2)(5x − 2)
25x² − 4
3. Scomponi x² − 14x + 49
(x − 7)², perché 49 = 7² e 14x = 2 · x · 7.
4. Calcola a mente 63 · 57
(60 + 3)(60 − 3) = 3600 − 9 = 3591
Domande frequenti
Quali prodotti notevoli si fanno in prima superiore?
Quadrato di binomio, somma per differenza e cubo di binomio; il quadrato di trinomio spesso come approfondimento. Subito dopo si usano per scomporre i polinomi.
Come si ricorda il quadrato di binomio?
Con la frase "quadrato del primo, doppio prodotto, quadrato del secondo", oppure con il disegno del quadrato diviso in quattro pezzi: due quadrati e due rettangoli uguali.